المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي، أو الوسط الحسابي، وأحياناً المعدّل في ال[[رياضيات]] وال[[إحصاء]] هو قيمة تتجمع حولها قيم [[مجموعة]] ويمكن من خلالها الحكم على بقية قيم المجموعة، فتكون هذه القيمة هي الوسط الحسابي.
== مقدمة ==
رياضياً، يحسب الوسط الحسابي بجمع قيم عناصر المجموعة المراد إيجاد وسطها، ويقسم المجموع على عدد العناصر. على سبيل المثال، لنفرض بأن لدينا العينة التالية operatorname = (x_1, ldots, x_n) ، حيث ان n هو حجم العينة، فالوسط الحسابي ar لهذه للعينة هو:
:ar = fracsum_^n x_i = frac (x_1+cdots+x_n).
أمّا للتنويه إلى معدّل مجموعة كاملة، يستخدم عادة الحرف الإغريقي "[[مو (حرف)|مو]]" mu. ويستخدم نفس الحرف عادة للإشارة إلى [[قيمة متوقعة|القيمة المتوقعة]] أو المعدل الاحتمالي ل[[متغير عشوائي]] ما. فمثلاً، إذا كانت العيّنة X هي عبارة عن مجموعة أعداد عشوائية ذات معدل احتمالي مساوٍ لـmu، فإنّ لكل عدد من العيّنة، x_ قيمة متوقعة تساوي mathbbleft[x_ ight] = mu.
في الواقع، فهنالك اختلاف هام بين mu وar، فالأوّل يشير إلى معدّل المجموعة كلّها (على سبيل المثال، معدّل أعمار جميع السكّان في دولة ما)، في حين أنّه على أرض الواقع يكون بحوزتنا، على العموم، عيّنة جزئية من المجموعة الكاملة نستطيع حساب معدّلها، وهذا الذي يشار إليه بواسطة الثاني. وبما أنّ العيّنة التي نحصل عليها غالبًا ما تكون عشوائيّة، تكون القيمة ar هي نفسها متغيّرًا عشوائيًا ذات [[توزيع احتمالي]] ما.
بالإضافة إلى ذلك، فإذا كان X هو متغيّرًا عشوائيًا نأخذ منه عيّنة تلو الأخرى، فإنّ المعدّل الحسابي يتقارب نحو [[نهاية رياضية|نهاية]] هي القيمة المتوقّعة لكل عيّنة (أي mu). هذا الأمر صحيح بموجب [[قانون الأعداد الكبيرة]]. بما معناه أنّه بالامكان استخدام المتوسط الحسابي للعيّنات ك[[مقدر|مقدّر]] للقيمة المتوقّعة الحقيقية للمتغير العشوائي.
ليس المتوسط الحسابي هو الوحيد المستخدم، فهنالك [[متوسط هندسي|المتوسط الهندسي]] و[[متوسط توافقي|المتوسط التوافقي]]، وعدد من المتوسطات التي تعطي ترجيحًا مختلفًا لكل عيّنة.
== خواص المعدّل الحسابي ==
[[
* يكون المتوسط الحسابي محصورًا دائمًا بين أكبر وأصغر عدد في العيّنة. بل وأكثر من ذلك - إنّ المتوسط الحسابي لمجموعة أعداد operatorname = (x_1, ldots, x_n) هو النقطة على محور الأعداد التي مجموع أبعادها عن كل نقطة في المجموعة يساوي صفر.
* إنّ المتوسط الحسابي ليس معلومة إحصائية قويّة، بمعنى أنّه حسّاسٌ جدًا لوجود أيّة عيّنات شاذّة، كتلك التي تبعد بعدًا كبيرًا عن معظم العيّنات - كلّما كانت العيّنة الشاذة أبعد، كان تأثيرها أكبر. مفهوم إحصائي آخر يشبه المتوسط الحسابي ولكنه أقوى منه هو [[وسيط (إحصاء)|الوسيط]]، وهو مساوٍ لقيمة العيّنة الموجودة بالضبط في منتصف مجموعة العيّنات إذا ما قمنا بترتيبها بشكل تصاعدي. بهذا الشكل، فإنّ وجود عيّنة شاذّة سيتسبّب فقط في تغيير بسيط في قيمة العيّنة الموجودة في الوسط.
* يستعمل حساب المعدّل كثيرًا للتغلّب على [[الضجيج|ضجيج]] في أنظمة معيّنة، خاصة تلك الإلكترونيّة المصحوبة بضوضاء بشتّى الترددات. على سبيل المثال، إذا أردنا تصوير صورة معيّنة، ولكنّ كل صورة نحصل عليها تكون مصحوبة ب[[ضوضاء بيضاء]]، فبالامكان التغلّب على هذه الضوضاء بواسطة أخذ سلسلة من الصور لنفس المشهد. فلكل [[عنصورة]]، يتم حساب القيمة المعدلة للعنصورة بواسطة حساب المتوسط الحسابي للقيم التي حصلت عليها العنصورة في كل صورة. ولأنّ الضوضاء بيضاء (ذات قيمة متوقّعة تساوي صفرًا)، فإنّ عملية المتوسط الحسابي ستخفّف من تأثيرها. بما معناه، أنّه بالامكان اعتبار عملية المتوسط الحسابي كأنّها ضرب من [[مرشح الترددات المنخفضة|مرشحات الترددات المنخفضة]].
== أمثلة ==
إذا كانت لديك ثلاثة أرقام، فمن أجل حساب المتوسط الحسابي، تقوم بالعملية التالية: frac
== أنظر أيضًا ==
* [[وسيط|وسيط (إحصاء)]]
* [[مرشح الترددات المنخفضة]]
* [[متوسط هندسي]]
* [[متوسط مرجح]]
* [[قيمة متوقعة]]
* [[تغاير تلقائي]]
* [[قانون الأعداد الكبيرة]]
[[تصنيف:احتمالات وإحصاء]]
[[تصنيف:مقاييس النزعة المركزية]]
[[bg:Средно аритметично]]
[[ca:Mitjana aritmètica]]
[[cs:Aritmetický průměr]]
[[de:Arithmetisches Mittel]]
[[en:Arithmetic mean]]
[[eo:Averaĝo]]
[[es:Media aritmética]]
[[et:Aritmeetiline keskmine]]
[[eu:Batezbesteko aritmetiko sinple]]
[[fa:میانگین حسابی]]
[[fi:Aritmeettinen keskiarvo]]
[[fr:Moyenne arithmétique]]
[[gl:Media aritmética]]
[[hr:Aritmetička sredina]]
[[hu:Számtani közép]]
[[km:មធ្យមនព្វន្ធ]]
[[ko:산술 평균]]
[[lt:Aritmetinis vidurkis]]
[[nl:Rekenkundig gemiddelde]]
[[pl:Średnia arytmetyczna]]
[[pt:Média aritmética]]
[[ro:Medie aritmetică]]
[[ru:Среднее арифметическое]]
[[sk:Aritmetický priemer]]
[[sl:Aritmetična sredina]]
[[sv:Aritmetiskt medelvärde]]
[[th:มัชฌิมเลขคณิต]]
[[tr:Aritmetik ortalama]]
[[uk:Середнє арифметичне]]
[[ur:نمونہ اوسط]]
[[vi:Trung bình cộng]]
[[zh:算术平均数]]

اضف الى: |